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经济学系学科导论系列课程之四——经济学中的数学
发布人: 时奇、高琦 发布时间: 2017/11/16 12:00

学院: 经济管理学院

主讲人: 雷瑶婷 博士

地点: 外经101

时间: 20171111

撰稿: 时奇 高琦

数学作为一门基础学科,不仅在理论中有着广泛的应用,也对我们的生活有极大的指导意义。

以日常生活中的砍价为例,倘若一件衬衫50元,两件衬衫80元。只买一件,怎么砍价?在砍价之前我们应该先确定砍价的下限,站在卖家的立场,卖两件一定要比卖一件赚的多才会给你折扣。现在抽象为数学问题: 如一件成本是x,则两件利润是80-2x,一件利润是50-x。由80-2x>50-x, 得出x<30。一件衬衫的成本最多只有30元。很明显,这样的测算对我们的砍价往往是有利的。

同样的方法也可以应用于投资。比方说某专业银行私自推出了一个储种,只要你每年在银行存入100元,连续8年,则从第9年起,不需要你再花一分钱,你就可以从银行那里每年得到100元,直到你去世为止。(年利率设定为10%,单利 ),那么这个投资究竟值不值?我们很难从直观上作出判断,不妨做一下计算: 第1年存入的1008年共产生80元利息,第2年存入的1007年共产生70元利息。以此类推,到第9年,利息总和达到360,本息和是1160。如果把它存在银行里,每年将带来116元的利息!但其实问题不止如此,银行至少在3个方面赚了你的钱: 1、当你在世的时候,它吃掉了你的部分利息;2、当你不在世的时候,他吃掉了你的全部利息;3、无论你在世还是不在世,它已经吃掉了你的本金。

由以上两个例子可见,数学在人们的经济生活中不仅能够帮助人们“节流”,也能帮助人们“开源”。那么数学对于经济学的发展又有什么重要意义呢?

一、数学在经济学中应用的必要性和重要性

历史上很多杰出的经济学家都对数学在经济学中的应用极为重视,卡尔·马克思甚至这样形容数学的作用: “一种科学只有成功地运用数学时,才算达到了真正完善的地步。”而自1992年以来的47位诺贝尔经济学奖得主中,拥有数学学位的就有22位,占到了获奖者中的近乎一半,如此高的比重从侧面印证了“数学在经济学中的作用越来越大,主流经济学研究都离不开数学”这一事实。

从必要性上来说,数学应用于经济学,由其自身的学科特征所决定,主要可以概括为以下三点: 1、数学方法能使经济学研究对象明确具体、经济变量之间的关系数量化,以及保证逻辑推理过程的严密性,最终将保证在理论上得出的结论具体明确,使相应的经济理论建立在坚实的科学基础上,从而减少或消除经济关系中的不确定因素,促进经济科学不断发展。现代科学的发展越来越多的体现在模型的构造和求解上,经济学中众多分析和模型都是依赖数学的语言才得以建立和运行的。2、数学使经济学研究更精确,推理更严密。文字的论述会受到历史、文化等多方面因素的影响,在解读过程中也会带来一些歧义。但是数学定理则不同,其依赖的逻辑形式是一脉相承的,表达内容也不会因时代的变迁而产生实质上的歧义。比如你可以轻松弄懂几千年前的勾股定理,但却很难理解几百年前的文学。3、提高了交流、积累与传播的效率。数学使得方向略有不同的经济学研究者交流的障碍变的更低,以数学为表达的理论也是很方便重复观测和证伪的。毫无疑问,这对于经济科学的发展,无论是横向还是纵向上都是大有裨益的。

从重要性上来说,数学的运用成就了现代的经济学,不仅仅是提供了可靠的检测工具和语言,数学思想对经济学的影响使得经济学百花齐放。概率统计支撑了计量经济学、博弈论构成为了微观经济半壁江山、系统论的引入产生了经济系统分析、控制论催生了经济控制论……一定程度上,没有广泛的数学方法的应用,就没有今天经济学的硕果累累。

二、数学在经济学中应用的历史与例证

数学与经济学的结合大体可分为三个阶段。

萌芽时期( 17世纪90年代到19世纪20年代)。早期的经济学家已经开始运用数理方法分析经济问题。无论是重农学派的魁奈还是现代经济学之父的亚当·斯密,都已经将初等数学的方法引入经济分析中。但是,这一时期的运用范围还仅仅局限与政治经济学和范畴,并且只是在分析过程中起到辅助作用,占主流的是定性分析。

形成时期( 19世纪20年代到20世纪40年代)。这一时期的经济学家不仅开始使用以微积分、线性代数和概率论等更高深的数学工具,并且开始尝试以数学为表达构建模型来运用经济理论。伴随着数学方法的大范围应用,一个新的经济学分支——数理经济系诞生了。在这一时期德国人屠能、戈森,法国的古诺和英国的杰文斯作出了有代表性的工作。

全面发展时期(20世纪40年代至今)。随着市场规模的扩大和经济现象的复杂化,数理方法的应用越来越为经济学者们接受,数学成为了经济学的语言。这一时期的特点是: (1)随着许多应用数学理论的出现, 数学方法就以这些新理论的应用为主。(2)数学方法的运用邻域涉及到经济学的各门学科并在众多的经济学研究方法中占据主要地位。(3)计算机与数学模型相结合促进了经济理论的发展和经济决策的科学性。

从经济学结构上来看,数理经济学、计量经济学、博弈论发展完善是这一时期经济学数学化的典型成果。计量经济学在20世纪20年代的兴起开始到20世纪60年代走向繁荣,但在60年代后期,由于计量预测经常性失误,该理论逐步从模型参数的估计和检验转向到模型设定的方法论讨论,强调对计量经济分析方法与技术的思想本身进行研究,强调对模型同经济理论和统计学原理的一致性进行探讨,现如今依然是一门具有活力的分支。数理经济学从瓦尔拉斯提出一般经济均衡,到1939年希克斯将微积分等现代数学技术真正运用于表述经济理论,再到1947年萨缪尔森在《经济分析基础》中,采用数学模型和数学推理对从微观到宏观的诸多理论进行推导,数理经济学的基础逐步完善。步入50年代,数理经济学的基础由微分转变为集合论等新的数学工具。而与数理经济学同时出现的还有博弈论,博弈论的理论基础早在四五十年代就已完善,包括冯·诺伊曼和摩根斯特恩的合作以及开篇提到的约翰·纳什做出的完善。但是博弈论的普遍应用还得等到是20世纪80年代之后。数理经济学,无论在思想上或方法上,都明显地受到博弈论的影响。

以上便是经济学发展至今和数学不断结合简介。

三、数学在经济学中应用的展望

当前,经济学与数学之间的联系空前密切。在经济学中运用数学是一个不可否认的大趋势,这当然也会造成一些问题。

较为明显的是过分的运用数学。数学之于经济学仅仅是工具,但是有时候也会喧宾夺主,使得研究者刻意运用数学而忽视对理论的把握,这种做法是与科学精神背道而驰的。另一方面,数学化的经济学无疑提升了进入门槛,使得经济学界与外界的交流成本抬高。

但是尽管有诸多的不利,我们还是应该看到,无论在过去还是将来,数学对经济学研究的发展和深化都起着巨大的作用,合理地运用数学工具,科学地选择数学方法,对经济学的明天有着巨大的意义。

四、如何学好经济数学

经济数学的学习大体可分为三个阶段。

入门: 初等微积分、线性代数、概率论与数理统计、运筹学

进阶: 高等微积分、数学规划、常微分方程、泛函分析、矩阵论、实变函数论、动态最优化、复变函数与积分变换、一般拓扑学、随机过程、偏微分方程、高级计量经济学

高阶: 非线性泛函分析、初等微分拓扑学

虽然这些课程看起来很难,但是经验表明,大多数缺少数学基础知识的学生,能学会所需要的数学知识。目前阶段需要我们端正态度,树立信心、坚持不懈,并注意学习运用数学方法分析、解决实际经济问题。

五、结语

工欲善其事,必先利其器。只有踏实的掌握数学工具,一步一个脚印的走,才能爬上“巨人的肩膀”。而只有深刻的观察生活、学以致用,才不会在数学化的趋势下背离经济学本质。


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